ЦМТ МГУ

Межкафедральный семинар имени А. Н. Колмогорова для студентов 1-2 курса

под руководством проф. В. И. Богачева, к.ф.-м.н. Е. Д. Косова, в.н.с. Н. А. Толмачева и проф. С. В. Шапошникова

А. Н. Колмогоров говорил, что до тридцати лет математику разумнее всего заниматься решением конкретно поставленных задач. Сам он начал свой путь в науку в 19 лет с решения трудной проблемы о рядах Фурье. Занятия семинара проводятся представителями разных кафедр и областей математики, они независимы друг от друга. Активная работа в семинаре поможет студентам развить математический кругозор (за счет знакомства с идеями из разных областей математики без долговременного изучения их языка), порешать конкретные задачи, не требующие обширных предварительных знаний, а также познакомиться с еще нерешенными проблемами, сделать первые математические открытия и, возможно, с пониманием выбрать научное направление и руководителя.

В весеннем семестре 2021 года семинар работает по понедельникам в 19:30 ОНЛАЙН. Ссылку на zoom можно получить по запросу на адрес vladimir.bogachev@math.msu.ru или questmatan@mail.ru

Семинар 19 апреля

Валерий Валентинович Рыжиков, профессор кафедры теории функций и функционального анализа

Сохраняющие меру эргодические преобразования

Будут обсуждаться следующие вопросы: факторизация преобразования в произведение трех инволюций, теорема Фюрстенберга, имеющая отношение к комбинаторной теории чисел, проблема Рохлина (1949) о кратном перемешивании, необычные свойства конструкций преобразований и удивительный «анти-Фубини» эффект (парадокс А.Катка).

Видео доклада доступно по ссылке.

Семинар 12 апреля

Михаил Валентинович Житлухин, кафедра теории вероятностей и математический институт имени В.А.Стеклова

Задачи об обнаружении разладок случайных последовательностей и процессов

Разладкой называется момент изменения вероятностных характеристик случайной последовательности или процесса — например, изменение среднего значения. Под обнаружением разладки понимается процедура, которая по наблюдаемым данным позволяет сказать, когда произошла разладка. В первой части доклада будет сделан обзор известных постановок задач обнаружения разладок и методов их решений. Во второй части будут изложены некоторые новые результаты об обнаружении многократных разладок у броуновского движения.

Видео доклада доступно по ссылке.

Семинар 5 апреля

Николай Владимирович Богачев (Сколтех & МФТИ)

Геометрия, арифметика и динамика дискретных групп

Теория дискретных групп возникла в 1950-1960-е годы в работах Мальцева, А. Вейля, А. Бореля, Хариш-Чандры, Мостова, Пятецкого-Шапиро, Ауслендера и ряда других известных математиков. Одним из простейших примеров дискретной группы является группа Z^n целочисленных параллельных переносов в евклидовом пространстве E^n, а первые нетривиальные примеры таких групп рассматривались еще в XIX веке, например модулярная группа Клейна PSL(2,Z), действующая на плоскости Лобачевского H^2. Ее естественное обобщение - подгруппа SL(n,Z) в SL(n,R). Теория дискретных групп сильно продвинулась благодаря знаменитым результатам Винберга, Маргулиса, Каждана, Мостова, Прасада. Современные исследования в области геометрии, топологии и дискретных групп сочетают арифметические, геометрические и динамические методы. Доклад будет в основном посвящен простейшим примерам дискретных групп (в том числе арифметических), действующих в евклидовом пространстве, на сфере или в пространстве Лобачевского, но также будут обсуждаться и связанные с этими группами поверхности и многообразия, такие как тор, поверхность S_g рода g или даже гиперболические поверхности с каспами. Особый интерес представляет теория Винберга гиперболических групп отражений, доставляющая очень интересные примеры и методы их использования. В докладе будут приведены основные предварительные сведения и ключевые открытые проблемы в этой области.

Подробному обсуждению данного круга проблем посвящен спецкурс

Видео доклада доступно по ссылке.

Семинар 29 марта

Алексей Львович Семенов, академик, зав. кафедрой математической логики и теории алгоритмов мехмата

Теория определимости: Теорема Тарского.

Определения - не менее важная часть математики, чем теоремы, доказательства и алгоритмы. Математическая логика (и теория алгоритмов) занимается математическим изучением всех этих понятий. В докладе речь будет идти прежде всего об определениях. Основная часть доклада будет посвящена доказательству теоремы Тарского. Эта теорема утверждает, что существование решения в действительных числах для системы, совокупности (и вообще - любой логической комбинации) уравнений и неравенств между полиномами с коэффициентами-параметрами эквивалентно аналогичной комбинации для коэффициентов. Например, существование решения у квадратного уравнения эквивалентно неотрицательности дискриминанта. Из теоремы Тарского вытекает существование алгоритма проверки истинности любого утверждения элементарной геометрии.

Презентация доклада

Семинар 22 марта

Петр Анатольевич Бородин, профессор кафедры теории функций и функционального анализа

Проблема выпуклости чебышевских множеств

В 1950-х годах была сформулирована и до сих пор не решена проблема: верно ли, что в гильбертовом пространстве всякое чебышевское множество выпукло? Чебышевским называется множество, для каждой точки вне которого ближайшая в этом множестве точка существует и единственна. Будет рассказано несколько доказательств выпуклости чебышевского множества в евклидовом пространстве и приведены некоторые результаты по проблеме выпуклости.

Семинар 15 марта

Юрий Михайлович Кабанов, профессор кафедры теории вероятностей

Теория арбитража и выпуклая геометрия

Одним из важнейших результатов математической теории финансовых рынков является теорема об эквивалентности свойств безарбитражности и существования эквивалентной мартингальной меры (первaя фундаментальнaя теоремa финансовой математики). В случае модели с конечным вероятностным пространством этот результат является простым следствием леммы Штимке о пересечении выпуклых конусов в терминах их двойственных. Обобщения этого результата привели к созданию глубокой математической теории, в основе которой лежат идеи геометрического функционального анализа и стохастического исчисления. В докладе будет рассказана история этой теории.

Семинар 1 марта

Алексей Львович Семенов, академик, зав. кафедрой математической логики и теории алгоритмов мехмата

Теория определимости: Теорема Геделя.

Определения – не менее важная часть математики, чем теоремы, доказательства и алгоритмы. Математическая логика (и теория алгоритмов) занимается математическим изучением всех этих понятий. В докладе речь будет идти прежде всего об определениях и о том, как определимость связана с доказуемостью и истинностью. Будет доказана Теорема Геделя о невозможности построения для математики системы доказательства, в которой удавалось бы доказать или опровергнуть всякое математическое утверждение.

Семинар 22 февраля

Владимир Игоревич Богачев, профессор кафедры теории функций и функционального анализа

Современные проблемы нелинейного анализа и теории меры

Будет сделан обзорный доклад об основных направлениях современных исследований в нелинейном анализе, в том числе бесконечномерном, на стыке с теорией меры и стохастическим анализом. Будет рассказано о некоторых интересных и полезных фактах, а также об имеющихся открытых проблемах с постановками, доступными для понимания начинающим.